- relatie binara
- o relatie binara pe o multime S este o functie * : S x S → S; daca (a,b) ∈ S x S at. a*b indica imaginea lui (a,b)
- fie * o relatie binara pe multimea S
- * este asociativa daca
- x*(y*z) = (x*y)*z, ∀ x, y, x ∈ S
- e ∈ S este element neutru fata de * daca
- x*e = e*x = x, ∀ x ∈ S
- daca e ∈ S este elem. neutru pentru *, pentru un x ∈ S fixat se spune ca y ∈ S este element invers daca
- x*y = e si y*x = e
- * este comutativa daca
- x*y = y*x, ∀x, y ∈ S
- a ∈ S este idempotent fata de * daca
- a*a = a
- z ∈ S este un zero pentru * daca
- z*x = z si x*z=z, ∀ x ∈ S
- grup
- un grup este o pereche ordonata (G, *) unde G este o multime si * este o relatie binara pe G care satisface proprietatile
- asociativitate
- poseda element neutru
- ∀ x ∈ G este inversabil
- grup abelian
- un grup (G,*) pentru care * este comutativa
- T
- daca (G,*) este un grup atunci
- elementul neutru este unic
- elementul invers este unic
- T
- fie (G,*) un grup care are elementul neutru e. At:
- daca a*c=a*b at. c=b
- daca c*a = b*a at. c = b
- fie a, b ∈ G, ∃ x ∈ G, unic. ai a*x=b
- fie a, b ∈ G, ∃ x ∈ G, unic. ai x*a=b
- daca a*b=a at b=e
- daca b*a = a at b=e
- daca a*a = a at. a = e
- (a-1)-1 = a
- (a * b)-1 = b-1 * a-1
- T
- fie (G,*) un grup cu e elementul neutru; ∀ n, m ∈ Z avem: si daca a*b = b*a at (a * b)n = an * bn
- subgrup
- fie (G,.) un grup; un subgrup al lui G este o submultime H a lui G care satisface urmatoarele:
- e ∈ H
- daca a, b ∈ H at a.b ∈ H
- daca a ∈ H at a-1 ∈ H
- ordinul grupului
- fie (G,*) un grup; numarul de elemente ale lui G se numeste ordinul lui G si se noteaza |G|
- ordinul unui element
- fie a un element al grupului G; daca ∃ n ∈ N ai an = e se spune ca a are un ordin finit si se defineste o(a)=min{n∈N/an = e}; daca an ≠ e at se spune ca a are un ordin infinit si se defineste o(a) = ∞
- subgrup generat de un element
- fie a un element al lui G. Se defineste subgrupul lui G generat de catre a <a> = {ai, i∈ Z}
- T
- ∀ a ∈ G, (G, *) grup at. <a> este subgrup al lui G care il contine pe a si este cel mai mic subgrup cu aceasta proprietate
- T
- ∀ a ∈ G, (G, *) grup; daca o(a)=1 at <a> = {e}; daca o(a)=n at <a> = {e, a, a2, ..., an-1 } si elementele e, a, a2, ..., an-1 sunt distincte ai o(a)=|<a>|
- T
- daca G este un grup finit at ∀ a ∈ G are ordin finit
- secventa de ordine
- fie g={ g1, g2 , ... , gn } , o(gi) = ki ptr. i = 1, 2, ..., n; secventa { k1, k2 , ... , kn } este secventa de ordine a grupului G; se presupune ca elementele sunt ordonate ai k1 ≦ k2 ≦ ... ≦ kn
- homomorfism, izomorfism de grupuri
- fie (G,*) si (H,+) doua grupuri. O functie f : G → H este un homomorfism de la G la H daca f(a*b) = f(a) + f(b), ∀ a, b ∈ G. Daca f este bijectiva atunci se numeste izomorfism de la G la H
G si H sunt izomorfe, G ≈ H ⇔ ∃ un izomorfism de la G la H
un izomorfism este o relatie de echivalenta; daca G, H si K sunt grupyuri at. - G ≈ G
- daca G ≈ H at. H ≈ G
- daca G ≈ H si H ≈ K at G ≈ K
- T
- fie (G,*) si (H,+) grupuri, f : G → H un homomorfism, eG si eH elem. neutre at.
- f(eG) = eH
- f(a-1) = f(a)-1
- f(an) = f(a)n, ∀ n ∈ Z
- T
- fie (G,*) si (H,+) grupuri, f : G → H un izomorfism at. o(a) = o(f(a)), ∀ a ∈ G
G si H au acelasi numar de elemente cu acelasi ordine - T
- daca G ≈ H si G abelian at. H abelian
- grup ciclic
- ∃ a ∈ G ai <a> = G iar a se numeste generator
- T
- daca G ≈ H si G ciclic at. H ciclic
- T
- fie a elem. al lui G, at.
- daca o(a) = ∞ at <a> ≈ Z
- daca o(a) = n at <a> ≈ Zn
- coset
- fie G un grup si H un subgrup al lui G; ∀ a ∈ G se defineste a*H = { a*h / h ∈ H} , cosetul lui H in G generat de a
- T
- fie G un grup finit si H un subgrup al lui G, a, b ∈ G at.
- a ∈ a*H
- |a*H|=|H|
- daca a*H si b*H nu sunt disjuncte at. a*H = b*H
- T(Lagrange)
- daca G este un grup fint si H este un subgrup al lui G at |H| divide pe |G|
- T
- daca G este un grup finit si a elem. al lui G at o(a) divide pe |G|
- daca G este un grup finit si a elem. al lui G at a|G| = e
- (analog mica teormea Fermat) daca p este prim si a elem. al lui Zp at. ap-1 = 1
- daca |G|= p si p prim at. G este ciclic
- daca G si H sunt grupuri de ord. p cu p prim at. G ≈ H
- clase de izomorfism
- se spune ca sunt k clase de izomorfism ale grupurilor de ordin n daca ∃ k grupuri G1, G2, ..., Gk ai
- Gi si Gj nu sunt izomorfe ptr i ≠ j
- ∀ grup de ordin n este izomorf cu unul din grupurile Gi
- produsul direct
- daca G1, G2, ..., Gn sunt grupuri, se defineste relatia binara * : G1 x G2 x ... x Gn → G1 x G2 x ... x Gn ai ai*bi este relatia din grupul Gi
- T(fundamentala a grupurilor finite abeliene)
- daca G este un grup finit abelian cu |G| ≧ 2 at. G ≈ Zp1n1 x Zp2n2 ... Zpsns unde pi este prim si ni este intreg pozitiv
- inel
- un inel este o tripleta ordonata (R, +, .) unde R este o multime iar + si . sunt relatii binare pe R care satisfac urmatoarele:
- (R,+) grup abelian, 0 este elem. neutru
- . este asociativa
- a.(b+c) = a.b + a.c
- (b+c).a = b.a + c.a
- inel cu elem neutru
- un inel (R, +, .) cu element neutru, 1, fata de .
- inel comutativ
- un inel (R, +, .) cu . comutativa
- domeniu de integritate
- un inel (R, +, .) cu proprietatile
- . comutativa
- ∃ 1, 1 ≠ 0
- nu are divizori ai lui 0: a, b ∈ R si a.b=0 at. a =0 sau b = 0
- camp
- un inel (R, +, .) cu proprietatile
- . comutativa
- ∃ 1, 1 ≠ 0
- ∀ x ∈ R si x ≠ 0 at. ∃ y ∈ R ai x.y = 1
- caracteristica unui camp
- caracteristica unui camp este 0 daca Σm1 1 ≠ 0, ∀ m intreg pozitiv; altfel caracteristica este cel mai mic intreg pozitiv m ai Σm1 1 = 0
- element unitate
- fie un inel (R, +, .) cu elem. neutru fata de ., 1. Un element a ∈ R se numeste unitate a lui R daca este inversabil fata de .
se noteaza cu U(R) multimea unitatilor lui R - grupul unitatilor
- (U(R), .) este grup
- an
- (R, +, .) inel, a ∈ R, n ∈ N at a1 = a si an = a . a . a ... a
- (R, +, .) inel cu 1 , a ∈ R, a unitate at a0 = a , a-1 este inversul prin . si a-n = ( a-1 )n
- T
- (R, +, .) camp ⇒ (R, +, .) domeniu de integritate
- T
- (Zn, ⊕, ⊙) camp ⇔ (Zn, ⊕, ⊙) domeniu de integritate
- (Zn, ⊕, ⊙) camp ⇔ n este prim
- homomorfism, izomorfism de inele
- fie (R, +, .) si (S, *, #) doua inele. O functie f : R → S se numeste homomorfism daca ∀ a, b ∈ R
- f(a . b) = f(a) * f(b)
- f(a+b) = f(a) # f(b)
daca f este bijectiva se numeste izomorfism si se spune ca R si S sunt izomorfe si se noteaza R ≈ S
- subinel, subcamp
- fie S ⊂ R, (S,+,.) este subinel al inelului (R,+,.) daca
- 0 ∈ S
- daca a ∈ S at -a ∈ S
- daca a, b ∈ S at. a+b ∈ S si a . b ∈ S
daca (R, +, .) este camp , (S, +, .) este subcamp daca sunt indeplinite si - 1 ∈ S
- daca a ∈ S si a ≠ 0 at a-1 ∈ S
ELEMENTARY ABSTRACT ALGEBRA
# posted by Sorin Badescu @ 10:24 AM
